Spás méadrach

Is é is spás méadrach ann ná tacar neamhfholamh X ar a bhfuil méadrach d : X × X → $\mathbb {R}$. Is sórt fad é an luach d(x,y) idir na pointí x agus y. Ní bheidh d ina mheithreach muna bhfuil na hairíonna seo a leanas ag gach $x,y,z\in X$:

1. $d(x,y)\geq 0$ ,
2. $d(x,y)=0\,$ má $x=y\,$ ,
3. $d(x,y)=d(y,x)\,$ agus
4. $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$     (an éagothromóid triantánach) .

Thug matamaiticeoir Francach an coincheap seo isteach i 1906. Maurice Fréchet ba ainm dó.

Má $f\colon X\rightarrow Y$, áit gur spás méadrach é (Y, d') agus spás méadrach eile é (X, d), is feidhm leanúnach é f má shásaíonn sé an coinníoll seo a leanas ag gach $x\in X$: $d'(f(y),f(x))\rightarrow 0$ de réir $d(y,x)\rightarrow 0$. Sainítear teorainn i spásanna méadracha mar sin:

$\lim _{x\to \infty }f^{n}(x)=L.\,$.

Ciallaíonn é sin go ndruideann $d(f^{n}(x),L)$ chun 0, de réir n → $\infty$.

Má tá $x\in X$ agus $r>0$, is é is brí leis an dtacar $B(x,r)=\{y\in X\colon d(x,y)<r\}$ ná liathróid oscailte le ga r agus lár x.

Más fothacar X é G, is tacar oscailte é G má shásaíonn sé an coinníoll seo a leanas ag gach $x\in G$: ag gach $x\in G$ tá luach r > 0 ionas go bhfuil B(x, r) ina fothacar de G.