Paradacsa Bertrand

Réamhrá

Tá an paradacsa seo [Calcul des probabilités(1889)] i ndiaidh J. Bertrand, matamaiticeoir ón bhFrainc. Ní hé seo an duine céanna leis an Sasanach Bertrand Russell, a bhí ag plé le paradacsa matamaitice eile.

Baineann an paradacsa leo le dóchúlacht agus conas eachtraí a roghnú sa chaoi is go bhfuil an seans céanna de roghnú ann. An cheist atá faoi chaibidil ná cad é an dóchúlacht go bhfuil corda a roghnófaí go fánach i gciorcal níos faide ná fad taobh an triantáin chomhshleasach atá imscríofa ag an gciorcal céanna. Ag tagairt do Fhigiúr 1, 'sé ABC an triantán inmhéanach. Tugaimid an lipéad ‘fábhrach’ ar aon chorda atá níos faide ná |AB| nó |AC| nó |BC|. Úsáidimid an sainmhíniú clasaiceach ar dhóchúlacht, .i. an coimheas idir líon na gcásanna fábhracha agus líon na gcásanna féideartha.

Modh 1

Fig. 1 Pioc pointe ar an imlíne, gorm=fábhrach, p=1/3

An chéad modh roghnaíochta ná pointe (A) ar bith ar imeall an chiorcail a roghnú. Cas an ciorcal chun go bhfuil an pointe A ar barr (Figiúr 1). Is léir go bhfuilimid ag plé le iomlán na gcordaí dá bhfuil ann. Tá na cinn fhábhracha, ó A go dtí an stua<!—arc--> BC, níos faide ná |AB| nó |AC|. Tá aon chorda, ó A go dtí ceachtar den dá stua eile AB nó AC róghairid agus leanann sé go bhfuil an dóchúlacht (ag cómhaireamh na stuanna) cothrom 1/3.

Modh 2

Fig. 2 Pioc ga, gorm=fábhrach, p=1/2

Don dara modh, roghnaigh corda ar bith agus tóg an ga atá dronuilleach leis. Cas an ciorcal sa chaoi go bhfuil an ga ingearach faoi mar atá i bhFigiúr 2. Ag díriú ar na cordaí uilig atá dronuilleach leis an nga sin, téann na cinn fhábhracha idir lárphointe an chiorcail, O, agus M. Is léir freisin, ón gcaoi ina dtógtar an ga, go bhfuilimid ag plé le hiomlán na gcordaí. Is féidir a thaispeáint gur |OM| = |KM| agus leanann sé gurb í an dóchúlacht atá á lorg againn ná |OM| / |KM| = 1/2.

Modh 3

Fig. 3 Pioc lárphointí den chorda, gorm=fábhrach, p=1/4

Is féidir corda a aicmiú de réir a fhad ó lárphointe an chiorcail – Figiúr 3. Táimid ag caint faoin bhfad is giorra, is é sin an fad ingearach ó lárphointe an chiorcail mhóir go lárphointe an chorda. Tá gach corda a bhfuil a lárphointe taobh istigh den chiorcal beag níos faide ná taobh an triantáin inmhéanaigh, agus tá gach corda a bhfuil a lárphointe lasmuigh den chiorcal beag níos giorra. Ag cómhaireamh na larphointí – trí fhairsinge an chiorcail – ag tabhairt faoi deara go bhfuil ga an chiorcail bhig cothrom le leath gha an chiorcail mhóir, tá an dóchúlacht = 1/4.

Díospóireacht

I ngach cás thuas táimid ag baint feidhm as Dlí Neafaise Laplace, a deireann nuair nach bhfuil fios nó réamheolas againn go dtugtar seans cothrom do gach tarlúint. I bhfocail an lae inniu glacaimid le dáileachán aonfhoirmeach. Níl aon rud cearr le haon cheann de na modhanna roghnaíochta. Paradacsa atá ann! Braitheann an freagra ar an modh roghnaíochta, agus níor tugadh an t-eolas sin sa cheist.

Mar réiteach (nádúrtha) ar an scéal b'fhéidir go mba chóir ciorcal a imscríobh ar an dtalamh agus bataí adhmaid a chaitheamh anuas air (ar shlí éigin!) agus féachaint ar cé mhéad acu atá níos faide ná fad taobh an triantáin.

Tagairtí

Riddles in Mathematics, Eugene P. Northrop, Penguin Books, 1944