Meastachán uasdealraitheachta

I gcúrsaí staitistice, úsáidtear an meastachán uasdealraitheachta (an dealraitheacht is mó) (MUD) chun meastacháin a dhéanamh ar phairiméadair shamhla staidrimh. Faightear na meastacháin trí luachanna pairiméadair a aimsiú a uasmhéadaíonn an fheidhm dealraitheachta.

Úsáidtear an modh seo le mórán anailísí staidrimh a dhéanamh. Abair go bhfuil suim agat in airde na mban i ndaonra áirithe. Má tá na hairdí difriúla dáilte mar is gnách, in éineacht le hathróg éigin agus meán éigin anaithnid, is féidir an athróg agus an meán a mheas le MUD fiú mura bhfuil eolas agat ach ar roinnt de na hairdí. Ghlacfadh MUD an meán agus an athróg mar phairiméadair agus gheobhadh sé luachanna paraiméadracha áirithe a déarfadh go bhfuil na torthaí breathnaithe ar na cinn is dóchúla.

Ó thaobh theoirim Bayes de, sampla speisialta d’uasmheastachán a posteriori is ea MUD agus gan réamhdháileachán aonfhoirmeach na bparaiméadar curtha san áireamh. Seachnaítear na réamhdháileacháin trí ráitis dóchúlachta a dhéanamh faoi mheastacháin na bparaiméadar seachas faoi na paraiméadair féin. Tá airíonna na meastachán sainmhínithe go hiomlán ag na breathnóireachtaí agus ag an tsamhail staidrimh.

feidhm dealraitheachta,próiseas déthéarmach (n=10)

Prionsabail

Tá modh na huasdealraitheachta bunaithe ar an bhfeidhm dealraitheachta, ${\mathcal {L}}(\theta \,;x)$. Tugtar samhail staidrimh dúinn, i.e. fine dáileachán $\{f(\cdot \,;\theta )\mid \theta \in \Theta \}$, mar a léirionn $\theta$ paraiméadar na samhla (ar féidir léi a bheith iltoiseach). Aimsíonn modh na huasdealraitheachta airíonna pharaiméadar na samhla, $\theta$, a uasmhéadaíonn an fheidhm dealraitheachta, ${\mathcal {L}}(\theta \,;x)$. Go hiomasach roghnaíonn sé seo na luachanna paraiméadracha.

Sainmhíníonn an modh meastachán uasdealraitheachta mar seo

${\hat {\theta }}\in \{{\underset {\theta \in \Theta }{\operatorname {arg\,max} }}\ {\mathcal {L}}(\theta \,;x)\},$

má tá uasmheastachán ann.

I ndáiríre, is minic is fusa feidhm a bhaint as logartam nádúrtha na feidhme dealraitheachta, rud a dtugtar an logdhealraitheacht air:

$\ell (\theta \,;x)=\ln {\mathcal {L}}(\theta \,;x),$

Nó an mheán-logdhealraitheacht:

${\hat {\ell }}(\theta \,;x)={\frac {1}{n}}\ln {\mathcal {L(\theta \,;x)}}.$

Cuireann an cuairín atá os cionn $\ell$ in iúl go bhfuil gaol aige le meastóir. I ndáiríre, tugann ${\hat {\ell }}$ meastachán ar logdhealraitheacht bhreathnóireachta ionchais amháin sa tsamhail.

Bíonn an chuma chéanna ar MUD go fiú má uasmhéadaítear an dealraitheacht nó an logdhealraitheacht, mar gur feidhm mhéadaitheach aontonach an log.

Ina lán samhlacha tá meastóir uasdealraitheachta le fáil mar léirfheidhm de na sonraí breathnaithe $x$. Ina lán samhlacha eile, áfach, níl fáil ar fhuascailt foirm iata na faidhbe uasmhéadaithí agus níl MUD le fáil ach trí optamú uilíoch uimhriúil. Maidir le fadhbanna eile áirithe, b’fhéidir go bhfuil luachanna iolracha ann a uasmhéadaíonn an dealraitheacht. Maidir le fadhbanna eile, áfach, níl aon mheastachán uasdealraitheachta ann: méadaíonn an fheidhm logdhealraitheacht gan luach uachtarach a bhaint amach, nó tá an luach sin ann ach tá sé lasmuigh de theorainn $\Theta$, tacar na luachanna paraiméadracha inghlactha.

Le léamh

• Andersen, Erling B. (1970); "Asymptotic Properties of Conditional Maximum Likelihood Estimators", Journal of the Royal Statistical Society B 32, 283–301
• Andersen, Erling B. (1980); Discrete Statistical Models with Social Science Applications, North Holland, 1980
• Basu, Debabrata (1988); Statistical Information and Likelihood : A Collection of Critical Essays by Dr. D. Basu; in Ghosh, Jayanta K., editor; Lecture Notes in Statistics, Volume 45, Springer-Verlag, 1988
• Einicke, G.A. (2012). "Smoothing, Filtering and Prediction: Estimating the Past, Present and Future". Rijeka, Croatia: Intech. 
• Ferguson, Thomas S. (1982). "An inconsistent maximum likelihood estimate". Journal of the American Statistical Association 77 (380): 831–834. doi:10.1080/01621459.1982.10477894. JSTOR 2287314. 
• Ferguson, Thomas S. (1996). "A Course in Large Sample Theory". Chapman & Hall. 
• Le Cam, Lucien (1990). "Maximum likelihood — an introduction". ISI Review 58 (2): 153–171. doi:10.2307/1403464. JSTOR 1403464. 
• "Asymptotics in Statistics: some basic concepts" (2000). Springer. 
• "Theory of Point Estimation, 2nd ed" (1998). Springer. 
• Millar, R. B. (2011). "Maximum Likelihood Estimation and Inference". Wiley. 
• Ruppert, David (2010). "Statistics and Data Analysis for Financial Engineering". Springer. 
• van der Vaart, Aad W. (1998). "Asymptotic Statistics".