Calcalas

Séard atá sa chalcalas ná bealach matamaiticiúil chun cur síos a dhéanamh ar rátaí athraithe. Baintear úsáid as an gcalcalas ins an bhfisic, ins an mheicnic ach go háirithe, i staidéar na heacnamaíochta, agus i neart brainsí eile den eolaíocht. Tugtar sainmhíniú ar fheidhm sa chalcalas agus leagtar amach bealach chun ráta athraithe na feidhme sin a ríomh. Glaotar an calcalas difreálach air seo. Ar an láimh eile, má tá ráta athraithe ar eolas, tá bealach ann chun an fheidhm a ríomh, agus is é seo an calcalas suimealach. Tá teoirim ann a deireann gur inbheartú é an calcalas suimeálach agus difreálach, agus is é seo bunteoirim an chalcalais.

Is íomhá chlasaiceach í bís logartamach na blaoisce 'Nátalas', a úsáidtear chun fás leanúnach a léiriú, príomhchoincheap sa Chalcalas.

Feidhm: bunchoincheap an chalcalais

Baineann an chuid is mó den mhatamaitic, an mhatamaitic eolaíochta ach go háirithe, le coincheap na feidhme. Abair go bhfuil dhá thacar againn, A agus B. Sa chalcalas ba chóir smaoineamh ar thacar uimhreacha réadacha. 'Séard is brí le feidhm ná coibhneas idir an dá thacar, a thugann do gach ball den tacar A, ball cófhreagrach sa tacar B. Abair go bhfuil feidhm f againn idir tacar A agus tacar B. Scríobhtar é seo mar

$f:A\rightarrow B$

agus má tá an eilimint a ina bhall den tacar A, scríobhtar an comhfhreagras idir a agus eilimint in B mar

$b=f(a)$.

Tá sampla meanscoile le feiscint ins an bhfeidhm $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}$, áit gurb ionann $f(x)$ agus $f(x)=x^{2}$. Is coibheas é seo idir tacar na réaduimhreacha, $\mathbb {R}$, agus tacar na réaduimhreacha neamhdhiúltacha$\mathbb {R} _{0}^{+}$. Má thugtar dúinn réaduimhir x, tá sé i gcoibheas leis an réaduimhir neamh-dhiúltach $x^{2}$. Is féidir neart samplaí níos casta a thabhairt ach léiríonn an sampla seo an bunsmaoineamh.

Airíonna feidhme: leanúnachas agus sodhifreáileachas

Airí thábhachtach a bhaineann le an-chuid feidhmeanna matamaiticiúla ná an leanúnachas: más féidir graf feidhme a tharraingt gan an peann a bhaint den leathanach, sé sin, más ionann graf na feidhme agus cuar rialta, tá an fheidhm leanúnach. Tá bealach níos treise ann chun cur síos ar an airí seo: abair gur feidhm í f ó thacar réaduimhreacha A go tacar eile réaduimhreacha B. Is feidmh leanúnach í f,

• má tá brí ag baint le $f(a)$ le haghaidh gach baill a den tacar A,
• má tá a agus b tugtha, maraon le $\epsilon$, aon uimhir dheimhneach, is féidir teacht ar uimhir dheimhneach eile, $\delta$, sa tslí go mbeidh

$\left|f(a)-f(b)\right|<\epsilon$,

nuair atá

$\left|a-b\right|<\delta$.

Bealach eile chun é seo a rá ná go bhfuil againn an teorainn

$\lim _{a\rightarrow b}f(a)=f(b).$

Ar an mbealach céanna, tá an fheidhm f sodhifreáileach ag a in A má tá brí leis an teorainn

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$.

Má tá an fheidhm f sodhifreáileach ag gach a in A deirtear go bhfuil an fheidhm f sodhifreálach (ag gach pointe).

An díorthaíoch

Abair anois gur feidhm í $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ atá sodhifreáileach ag gach pointe. Sainmhínítear an díorthaíoch ag x mar

$f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$.

Tá an dóigh air gurb ionann an cháinníocht seo agus an codán gan ciall $0/0$, ach scúdaímis sampla ina náirítear an díorthaíoch ó bhunphrionsabal. Abair go bhfuil $f(x)=x^{3}$. Mar sin,

$f\left(x+h\right)=x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3},$

${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=3x^{2}+3xh+h^{2}$.

De réir mar a théann an uimhir bheag h i dtreo nialas, téann an codan seo i dtreo $3x^{2}$, agus mar sin,

$f'\left(x\right)=3x^{2}$.

Tá díorthaíoch feidhme tábhachtach in an-chuid brainsí den eolaíocht. Sa mheicnic, más ionann $x(t)$ agus suíomh réada i leith ama, is feidhm é seo. Is ionann díorthaíoch na feidhme seo agus luas an réada; is ionann díorthaíoch an luais agus luasghéarú an réada. Deireann Dlíthe Newton gurb ionann toradh mháis agus luasghéarú an réada agus na fórsaí ag gníomhú ar an réad. Sa cheimic, más ionann $c(t)$ agus méid ceimeacháin atá i gcóras ag am t, déanann an díorthaíoch dc/dt cur síos ar ráta frithghníomchaíochta an chórais cheimicigh. Má tá frithghníomhaíocht cheimiceach ann,

$A+B\rightarrow C,$

athraíonn an méid C ata sa chóras de réir

${\frac {dc}{dt}}=ab,$

áit gurb ionann c agus an méid C atá sa chóras agus rl.

Feidhm eile a bhaineann leis an díorthaíoch ná conas fána chuair a aimsiú ag pointe ar bith ar an gcuar. Ba é seo an chéad spreagadh a bhí ag matamaiticeoirí sa seachtú aois déag leis an gcalcalas a fhorbairt. Abair go bhfuil líne y=mx+c á plé. Is féidir fána na líne a ríomh trí aon dá phointe a aimsiú ar an líne, $(x_{1},y_{1})$ agus $(x_{2},y_{2})$ abair, agus is ionann an fhána agus

$m={\frac {\text{athru in y}}{\text{athru in x}}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.$

Nuair atá dhá phointe ar chuar gar le chéile, ní féidir idirdhealú a dhéanamh idir an cuar sin, agus le líne le fána faoi leith. Abair go bhfuil an dá phointe $(x_{1},f(x_{1}))$ agus $(x_{2},f(x_{2}))$ gar le chéile ar an gcuar $y=f(x)$. Tá fána an chuair ag $x_{2}$ nach mór cothrom le

$m\approx {\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}.$

Is féidir an meastúchán seo a dhéanamh níos fearr agus níos fearr trín bhfad idir $x_{1}$ agus $x_{2}$ a dhéanamh níos lú agus níos lú, go dtí go scroichtear an teorainn

$m=\lim _{x_{1}\rightarrow x_{2}}{\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}=f'\left(x_{2}\right).$

Mar sin, is ionann fána an chuair ag an bpointe $x_{2}$ agus díorthaíoch na feidhme f ag an bpointe sin. Seo é tuiscint chéimseata an díorthaigh.