Meicnic

Is éard atá sa mheicnic ná staidéar matamaiticiúil ar ghluaiseacht. Baintear leas as dlíthe Newton chun cur síos a dhéanamh ar dhíláithriú coirp óna fhosphointe nuair a fheidhmíonn fórsaí air. Is dlíthe nádúrtha iad dlíthe Newton agus glactar leo mar seo a leanas:

• Fanann corp ina sheasamh nó ag gluaiseacht ag ráta tairseach go dtí go bhfeidhmníonn fórsa eismheánach air.
• Nuair a fheidhmíonn fórsaí eismheánacha ar chorp, is ionann ráta athraithe an mhóimintim agus suim na bhfórsaí sin.
• Nuair a fheidhmíonn corp A fórsa ar chorp B, feidhmníonn corp B fórsa eile ar chorp A; tá méad an fhórsa seo cothrom le méad an chéad fhórsa, agus dírithe sa treo úrchóireach.

Sé bunphrionsapal na meicnice ná an prionsabal coibheasta: ní mór gluaiseacht a thomhas i leith ruda: níl a leithead de rud ann agus gluaiseacht absalóideach. Mar sin, labraítear mar gheall ar `ghluaiseacht coirp i leith ruda'. Más ionann an rud sin agus córas comhardanáidí agus uaireadóir, glaotar fráma (nó córas) tagartha ar an rud sin. Má tá dhá fhráma ag gluaiseacht go rialta nó ina bhfos i leith a chéile glaotar frámaí taimhe orthu. Baintear leas as frámaí taimhe sa mheicnic. I ndáiríre tuigeann gach duine an coincheap seo: má tá tú i dtraein agus na dallóga dúnta ar an bhfuinneog, ní féidir a rá an bhfuil an traein ag gluiseacht go rialta, nó ina seasamh. Tuigtear gluaiseacht na traenach i leith cad a fheictear lasmuigh. Ar an láimh eile, is féidir a aithint muna bhfuil an ghluaiseacht rialta seo ag an traein: má tá lúb san iarnród agus má chasann an traein go tapaidh, is féidir athraithe i ngluaiseacht na traenach a mhothú. Is cás eile é seo ach tá anailís na meicnice níos fusa i leith fráma taimhe, agus bainfear leas astu siúd as seo amach.

Chun dlíthe Newton a athrú go matamaitic agus chun díláithriú an choirp a shloinneadh mar fheidhm an ama, ní mór teicnící an chalcalais a shainmhíniú. San alt seo, pléifear corp no réad atá ina phoncmháis: tá máis ag an gcorp ach níl toirt aige. Mar sin, tá an plé níos simplí ach níl gá leis an srian seo.

Rátaí athraithe sa mheicnic

Baintear leas as córas taimhe chun cur síos a dhéanamh ar am, fad, agus díláithriú. De réir dlíthe Newton, bíonn córas táimhe ag gluaiseacht ar bhealach rialta, nó bíonn sé ina sheasamh, agus tomhastar an ghluaiseacht seo i leith fráma taimhe eile. Is féidir cur síos a dhéanamh ar shuíomh an choirp ina bhfuil suim againn ann, le veictoir. Ós rud é go n-athraíonn suíomh an choirp i leith ama, scríobhtar an veicteoir mar $\mathbf {x} (t)$, abair. Is ionann treoluas an choirp agus ráta athraithe an veicteora seo i leith ama, sé sin,

$\mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {x} }{dt}}$.

Is veicteoir é an treoluas chomh maith. Ar an mbealach céanna, sainmhínítear an luasghéarú mar seo a leanas,

$\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}$.

Is féidir linn anois sainmhíniú a thabhairt ar an móiminteam $\mathbf {p}$: is ionann $\mathbf {p}$ agus toradh mháis an choirp agus an luais, sé sin, $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$. Leis an sainmhíniú seo, tá bealach gonnta againn le dara dlí Newton a scríobh síos,

${\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {p} =m\mathbf {v} \right)=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}$,

áit gurb ionann $\mathbf {F} _{i}$ agus an t-iú fórsa eismheánach ar an gcorp. Tá neart samplaí ann d'fhórsaí eismheánacha a chuireann tús le luasghéarú. Ina measc tá domhamtharraingt idir na plainéidí, leictreachas idir coirp le locht, agus brú leachta ar choirp ag snámh ann. Is féidir na coincheapanna seo phlé nuair nach bhfuil na scálaí sa bhfadhb róbheag. Bíonn neart cás ann áfach, nuair atá gá le teoirc eile, agus sí sin ná an fhisic chandamach.

Airíonna inchoimeádtha

Tá rátaí athraithe tábhachtach sa mheicnic, ach tá cainníochtaí nach n-athraíonn i leith ama díreach chomh tábhachtach. Ina measc tá prionsabla inchoimeád an mhóimintim: i gcórás dúnta, ní athraíonn suim iomlán an mhóimintim i leith ama. Samhlaigh córas le $N$ réad, agus bíodh móiminteam $\mathbf {p} _{i}$ ag an t-iú réad. Is ionann suim iomlán an mhóimintim agus $\mathbf {P} =\mathbf {p} _{1}+...+\mathbf {p} _{N}$. Mar sin,

${\frac {d\mathbf {P} }{dt}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {d\mathbf {p} _{i}}{dt}},$

agus de réir dara dlí Newton, is ionann seo agus

${\frac {d\mathbf {P} }{dt}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {d\mathbf {p} _{i}}{dt}}=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1,j\neq i}^{N}\mathbf {F} _{ij},$

áit gurb ionann $\mathbf {F} _{ij}$ agus an fórsa a fheidhmíonn réad j ar réad i. Ach de réir tríú dlí Newton, tá againn an chothromóid $\mathbf {F} _{ij}=-\mathbf {F} _{ji}$, agus mar sin,

${\frac {d\mathbf {P} }{dt}}=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1,j\neq i}^{N}\mathbf {F} _{ij}=0,$

nó, $\mathbf {P} =\mathrm {tairseach}$.

Dírimís ár n-aire anois ar chóras le páirteagal amháin, ach ní gá an tsimplíocht seo a bheith ann. Má fheidmhmíonn fórsaí eismheánacha ar an réad, ní bheidh móiminteam an réada tairseach, ach tá cainníocht eile ann a fhanann doathraithe. Abair go bhfuil an fórsa eishmheánach coimeádach, sé sin, is féidir a scríobh, $\mathbf {F} =-\nabla V$, áit gurb ionann $\nabla$ agus an díorthaíoch i leith na gcomhardanáidí x, y, agus z. Sainmhínítear fuinneamh an chórais mar seo a leanas,

$E={\frac {m}{2}}\mathbf {v} ^{2}+V\left(x,y,z\right)$.

Glaotar fuinneamh cinéiteach ar an téarma $m\mathbf {v} ^{2}/2$ ós rud é go síolráionn sé ó ghluaiseacht an choirp, agus glaotar fuinneamh poitéinsiúil ar an téarma V, agus is fuinneamh é seo atá ag an gcorp de bharr a shuímh. Sampla d'fhuinneamh poitéinsiúil is ea an domhantarraingt. Ar thalamh an domhain, is ionann V na domhantarraingthe agus mgh, áit gurb ionann m agus máis an réada, g agus tairsach na domhantarraingthe, agus h airde an choirp ó leibhéal na talún.

Tá sé furasta a léiriú anois le dara dlí de chuid Newton go bhfuil an fuinneamh tairseach,

${\frac {dE}{dt}}=\mathbf {v} \cdot \left[m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}+\nabla V\right]=0,$

de bharr na cothromóide $m\left(d\mathbf {v} /dt\right)=\mathbf {F} =-\nabla V$. Tabhair faoi deara gur scálach é an fuinneamh, ach is veicteoir é an luas.

Ar an mbealach céanna, sainmhínítear móimint an fhórsa eismheánaigh ar an gcorp mar $\mathbf {x} \times \mathbf {F}$, áit gurb ionann $\times$ agus and toradh veicteoireach. Is tomhas é seo ar chumas an fhórsa réad a chasadh trí uilleann. Mar shampla, má bhrúnn duine ar dhoras, tá an brú níos treise nuair a chuirtear é ar an taobh úrchóireach ó áis an dorais, mar sa chás sin tá $\mathbf {x}$ mór agus mar sin tá cumas casaidh an fhórsa mór. Má tá suim na móimintí eismheánach cothrom le náid, beidh an móiminteam uilleannach tairseach, áit gurb ionann an chainníocht seo agus

$\mathbf {L} =m\mathbf {x} \times \mathbf {v}$.

Is veicteoir é an móiminteam uilleannach, mar tá treo ag baint leis. Tá an crothúnas cosúil leis an gceann le haghaidh an fhuinnimh.

Déantar achoimre ar na cainníochtaí inchoimeádtha seo sa tábla thíos. Sa tábla, luaitear siméadracht a chófhreagraíonn le gach cainníocht: mar shampla, muna n-athraíonn an córas ar aon bhealach tar éis dúinin uaireadóir an fhráma thagartha a ath-thosú, tá do-athraitheacht i leith aistriúchán ama aige, agus tá an fuinneamh tairseach. Ar an mbealach céanna, muna n-athraíonn an córas tar éis dúinn an fráma tagartha a bhogadh trí spás, tá do-athraitheacht i leith aistriúchán spáis aige, agus tá an móiminteam tairseach. Tá nasc idir siméadracht agus cainníochtaí tairseach agus glaotar teoirim Noether air seo.

Cainníocht	Cineáil	Siombail	Foirmle	Siméadracht
Móiminteam	veicteoir	p	$\mathbf {p} =m\mathbf {v}$	Do-athraitheacht i leith aistriúcháin trí spás
Fuinneamh	scálach	E	$E=m\mathbf {v} ^{2}/2+V$	Do-athraitheacht i leith aistriúchán ama
Móiminteam uilleannach	veicteoir	L	$\mathbf {L} =m\mathbf {x} \times \mathbf {v}$	Do-athraitheacht i leith rothlaithe

Cur i bhfeidhm na teoirice

Tabharfar sampla bunúsach den teoiric seo i bhfeidhm agus tuigfear mar seo bunfhadhb na meicnice: suíomh an chórais mar fheidhm an ama a ríomh de réir na bhfórsaí eismheánacha. Abair nach bufuil ach treo amháin sa bhfadhb agus go bhfuil poncmháis ann a mhothaíonn an fórsa $F=-kx$, áit gur tairseach é k. Seo é an fórsa a mhothaíonn máis agus é ceangailte go sprionga. De réir dlí Newton is ionann cothromóid na gluaiseachta agus

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx,$

agus is furasta réiteach ginearálta na cothromóide seo a aimsiú: $x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)$, áit gur tairsigh iad A agus B, agus is ionann $\omega$ agus ${\sqrt {k/m}}$. Leis na coinníollacha tosaigh $x(0)=x_{0}$, $[dx/dt](0)=v_{0}$, is féidir cothromóid na gluaiseachta a réiteach,

$x(t)=x_{0}\cos(\omega t)+{\frac {v_{0}}{\omega }}\sin(\omega t).$

Is féidir anois a rá le cintteacht cá bheidh an réad, nuair atá eolas againn ar luas agus suíomh an réada ag tús an turgnaimh. Nuair atá an freagra sin againn, tá fadhb na meicnice réitithe le haghaidh an chórais i gceist.

Nuair a tháinig eolaithe ar an teoiric seo ar dtús, ina measc Isaac Newton, chonaic siad impleachtaí fealsúnachta ann: bheadh réamhfhaisnéis ag duine ar stádas coirp dá mbeadh eolas aige ar choinníollacha tosaigh an chórais. Ós rud é gur bailiúchán adamh gach rud sa chruinne, chonacthas do na heolaithe seo go bhféadfaí réamhfhaisnéis a thabhairt ar cad a tharlódh do chuile rud sa chruine. Cheap na daoine seo gur chuir eolaíocht na meicnie deireadh le saor-thoil agus rudaí randamacha. Anois, tuigtear dúinn nach bhfuil sé seo fíor: bíonn na fórsaí a fheidhmíonn ar coirp mhóra i bhfad níos casta ná F=-kx, agus mar sin, ní féidir go ginearálta cothromóidí na gluaiseachta a réiteach. Cuireann teoiricí cosúil leis an bhfisic chandamach agus teoiric an neamh-oird (chaos theory) srianta eile ar an méid réamhfhaisnéise gur féidir a dhéanamh ar chóras meicnice. In ainneoin na teorann seo, tá cumhacht réamhfhaisnéise na meicnice le feiceáil i gcúrsaí teicneolaíochta, ina measc, conas eitleán nó gluaisteán a stiúradh, conas satailít a sheoladh go spás, conas diúrachán a threoiriú, nó conas droichead a thógáil.

Tagairtí

• L.D. Landau agus E.M. Lifshitz, Course of Theoretical Physics, Volume 1, Butterworth Heinemann (tríú eagrán, 1976).
• I. Stewart, Does God Play Dice?, Penguin, (dara heagrán, 1997).