Uimhir phríomha

Sa mhatamaitic, is éard is uimhir phríomha ná slánuimhir dheimhneach $p$ níos mó ná $1$ nach bhfuil aon roinnteoir aici ach $1$ agus í féin, $p$. Is uimhir ilchodach é slánuimhir deimhneach nach bhfuil ina huimhir phríomha. Bhí na huimhreacha príomha tábhachtach i gcónaí san uimhirtheoiric agus in a lán fearainn matamaiticiúil eile. Mar shampla, úsaidtear iad sa gcripteagrafaíocht nua-aimseartha.

Le fada tá uimhirtheoirícithe ag iarraidh feidhm $f(n)$ a aimsiú, a tháirgfeadh uimhreacha príomha ach slánuimhreacha deimhneacha, $n$, a chur isteach inti, ach tá teipthe orthu go dtí seo.

Mar shampla, táirgeann $f(n)=n^{2}-n+41$ uimhreacha príomha nuair $n<41$, agus táirgeann $f(n)=n^{2}-79n+1601$ uimhreacha príomha nuair $n<80$.

Thairg Pierre de Fermat gurbh uimhir phríomha í $2^{2^{n}}+1$ nuair is slánuimhir dheimhneach í $n$, ach cruthaíodh trí fhrithshampla nach fíor é seo: níl $2^{2^{5}}+1$ príomh. Deirimid gur uimhir phríomha Fermat é uimhir phríomha atá scriofa mar $p=2^{2^{n}}+1$ nuair is slánuimhir é $n$. Mar shampla, is iad $3$, $5$, $17$ agus $257$ ina uimhreacha phríomha Fermat.

Is é $2^{82,589,933}-1$ an uimhir phríomh is mó atá fhios againn ar. Faigheadh é i 2018 le linn an Great Internet Mersenne Prime Search, nó an GIMPS. Is uimhir phríomha Mersenne é uimhir phríomha atá scriofa mar $p=2^{n}-1$.

An mhéad uimhir phríomha

Níl aon deireadh leis na uimhreacha phríomha. Rinne Euclid an chéad cruthú (atá fhios againn ) sa Ghréig thart ar 300 R.C.R.

Teoirim Euclid

Níl deireadh leis na uimhreacha phríomha.

Cruthú le bréagnú: Glacaimid an ráiteas go bhfuil deireadh leis na huimhreacha phríomha. Mar sin is féidir linn iad a scríobh i liosta le gcríoch: $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}$. Ansin, is féidir linn uimhir nua $N$ a scríobh mar seo:

$N=p_{1}\times p_{2}\times ...\times p_{r}+1$

Caithfidh go bhfuil $N$ ina phríomhuimhir nó ina huimhir ilchodach.

Más uimhir phríomha é $N$, tá sé níos mó ná gach uile uimhir phríomh sa liosta $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}$. Tugann sé sin le fios nach raibh $N$ sa liosta, cé gurbh uimhir phríomha é. Léiríonn sé sin nach bhféidir le $N$ bheith ina huimhir phríomha.

Más uimhir ilchodach é $N$, tá roinnteoir phríomh éigin $p\in \{p_{1},\ldots ,p_{r}\}$. Tá $N$ agus $p_{1}\times \ldots \times p_{r}$ inroinnte ar $p$, agus ciallaíonn sé sin go roinneann $N-p_{1}\times \ldots \times p_{r}=1$ ar $p$. Ach tá $p$ níos mó ná $1$, agus ní bhféidir leis roinnean ar $1$.

Tá sé léirithe againn nach bhfeidir le $N$ bheith ina uimhir phríomha nó ina huimhir ilchodach, cé go bhfuil sé ina slánuimhir deimhneach. Is léir gur bréagach é ár ráiteas go bhfuil deireadh leis na uimhreacha phríomha.

Féach freisin

• Pierre de Fermat
• Uimhirtheoiric
• Teoiric na dóchúlachta
• Teoirim dheireanach Fermat
• Uimhreacha caoimhiúla