Grúpa (matamaitic)

Sa mhatamaitic, is réad bunúsach san ailgéabar teibí é an grúpa. Tá sé níos simplí ná an fáinne, ach tá níos mó chómhdhéanamh ann na atá sa tacar. Níl ach eilimintí i dtacar, ach tá eilimintí agus oibríocht (mar shampla an suimiú nó an iolrú) i ngrúpa.

Is sórt grúpa é an Ciúb Rubik agus a himchastaí

Sainmhíniú

Is grúpa é $(G,*)$, tacar eilimintí $G$ faoin oibríocht $*$, má:

1. tá $G$ iata faoi $*$, is é sin $a*b\in G$ do gach $a,b\in G$;
2. tá an oibríocht $*$ comhthiomsaitheach thar $G$, is é sin $a*(b*c)=(a*b)*c$ do gach $a,b,c\in G$;
3. tá eilimint céannachta $e\in G$ ionas gur $a*e=e*a=a$ do gach $a\in G$;
4. tá inbhéarta $a^{-1}$ ag gach $a\in G$, ionas gur $a*a^{-1}=a^{-1}*a=e$.

Má tá an oibríocht $*$ cómhalartach freisin, is é sin $a*b=b*a$ do gach $a,b\in G$, is grúpa aibéalach an grúpa.

Samplaí

Sampla amháin de ghrúpa is ea $(\mathbb {Z} ,+),$ na slánuimhreacha faoi shuimiú. Tá sé iata faoi $+$ mar tá suim dhá slánuimhreacha ina slánuimhir. Is é an uimhir $0$ an eilimint céannacht sa grúpa $(\mathbb {Z} ,+)$ mar tá $n+0=n$ do gach $n\in \mathbb {Z}$. Agus is é $-n$ an inbhéartha ag $n\in \mathbb {Z}$, mar tá $n+(-n)=0$. Agus tá an suimiú comhthiomsaitheach thar $\mathbb {Z}$.

Sampla eile is ea $(\{1,i,-1,-i\},\times )$ faoi iolrú, áit a bhfuil $i={\sqrt {-1}}\in \mathbb {C}$ (na huimhreacha coimpléascacha). Is é $1$ an eilimint céannacht ann.

Sampla eile fós is ea na rothluithe thart ar chomhphointe, nuair is é $*$ rothlú amháin ar dtús is ansin rothlú eile. Déantar staidéar ar airíonna grúpaí le grúptheoiric.