Réimse (matamaitic)

Sa mhatamaitic, go háirithe san ailgéabar teibí, is éard is réimse ann ná tacar $K$ le oibríochtaí suimiú $+$, iolrú cómhalartach $\cdot$ agus an roinnt, ar nós na n-uimhreacha cóimheasta $\mathbb {Q}$. Is sórt fáinne spéisiúil é réimse, inarbh fhéidir roinnt ar eilimintí neamhnialasacha. Níl tacar na slánuimhreacha $\mathbb {Z}$ ina réimse, cé gur fáinne é, mar níl an roinnt sainmhínithe ann. Is é sin, ní fhaightear slánuimhir i gcónaí nuair a roinntear slánuimhir ar shlánuimhir eile. Mar shampla, má roinntear $5$ ar $2$, is í an uimhir chóimheasta ${\frac {5}{2}}$ an fhreagra.

Sanasaíocht

Úsáidtear an focal corps sa Fhraincís, Körper sa Ghearmáinis, agus lichaam (corp) san Ollainis. Ach sa Béarla agus i bPléimeannais (Ollainnis na Beilge), úsáidtear na focail field agus veld (páirc nó réimse nó blár). Mar gheall ar obair na matamaiticeoirí Gearmánacha, is minic a chuireann na siombailí $K,k,{\text{ nó }}\mathbb {K}$ réimse éigin in iúl. Más réimse críochta é (is é sin, réimse ina bhfuil líon críochta eilimintí), scríobhtar $\mathbb {F} _{q}$, agus cuireann an foscript $q$ an méid eilimintí in iúl. Is teoirim bhunúsach é i dteoiric na réimsí nach bhfeidir ach líon príomha $p$ nó méid príomhcumhachtúil $p^{n},n\in \mathbb {N}$ eilimintí a bheith i réimse críochta.

Samplaí

Is réimse é $\mathbb {Q}$, na huimhreacha cóimheasta, ina bhfuil $\mathbb {Q} =\left\{{\frac {a}{b}}:a,b\in \mathbb {Z} ,{\text{gcd}}(a,b)=1\right\}$ (is é ${\text{gcd}}(a,b)$ an comhroinnteoir is mó atá ag $a{\text{ agus }}b$. Is léir gurb é $\mathbb {Q}$ an réimse is lú a chuimsíonn $\mathbb {Z}$.

Má tá $q$ ina phríomhchumhacht, is ann do réimse a bhfuil $q$ eilimint ann. Mar shampla, más $q=5$, is é $\mathbb {F} _{q}=\left\{0,1,2,3,4\right\}$ leis an uimhríocht modulo (féach ar leathanach an grúpa).

Teoiric na réimsí

Bhain cuid mhaith den ailgéabar teibí sna 19ú agus 20ú haois le réimsí. Ba é Évariste Galois ceann de na matamaiticeoirí is tábhachtaí agus is cáiliúla a rinneadh staidéar ar réimsí.